Cherchez l'erreur

(dernière mise à jour le vendredi 12 mai 2000)

Il s'agit de trois petits problèmes qui montrent comment une erreur de raisonnement conduit à des conclusions invraisemblables.

Tous les humains ont le même âge

 

Tous les triangles sont isocèles

 

L'hypoténuse est plus longue qu'il n'y paraît

 

Tous les humains ont le même âge (transmis par J.L.D.)

Voici l'un des pièges du raisonnement par récurrence utilisé au lycée en terminale.

Soit E l'ensemble des humains vivant sur terre.

Soit la propriété Pn: dans toute partie de E contenant n humains, ces n humains ont le même âge.

Si nous montrons par récurrence que la propriété Pn est vraie pour tout entier n, alors nous aurons montré que tous les humains vivant sur terre ont le même âge

Tout d'abord P1 est vraie: en effet un humain isolé a forcément le même âge que lui-même.

A présent, montrons que si la propriété Pn est vraie, alors la propriété Pn+1 est vraie. Prenons un ensemble quelconque constitué de (n+1) humains. Isolons l'un de ces humains, disons Toto. L'ensemble restant est formé de n humains. Par hypothèse de récurrence, ces n humains ont tous le même âge. Isolons l'un de ces humains, disons Titi. L'ensemble restant est formé de n-1 humains qui ont le même âge que Titi. Rajoutons Toto à cet ensemble. Le nouvel ensemble est constitué de n éléments: Toto plus les (n-1) qui ont le même âge que Titi. Par hypothèse de récurrence, ces n humains ont tous le même âge et donc Toto a le même âge que les autres. Par conséquent, dans notre ensemble quelconque constitué de (n+1) humains, tous ont le même âge.

On a ainsi montré par récurrence que tous les humains ont le même âge.

Question: pourquoi ce raisonnement est-il faux? (Voir la solution)

 

Tous les triangles sont isocèles (transmis par J.L.D.)

On dit que le bon géomètre sait "raisonner juste même avec une figure fausse". Cet exemple montre que ce n'est pas facile.

Soit un triangle ABC quelconque. Soit O le point d'intersection de la bissectrice de l'angle (BAC) avec la médiatrice du segment [BC]. Soit P le projeté orthogonal de O sur la droite (AC) et Q le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). O est sur la bissectrice de l'angle (BAC), donc à égale distance des droites (AB) et (AC), donc OP=OQ. Les 2 triangles rectangles OQA et OPA ont un angle égal (l'angle droit) et deux côtés égaux (OP=OQ et OA commun) donc ils sont égaux, donc AP=AQ (1)

O est sur la médiatrice du segment [BC], donc OB=OC. Les 2 triangles rectangles OQB et OPC ont un angle égal (l'angle droit) et deux côtés égaux (OP=OQ et OB=OC), donc ils sont isométriques c'est à dire que leurs trois côtés sont égaux, donc:
CP=BQ (2)

En retranchant membre à membre (2) de (1) il vient AP-CP=AQ-BQ et donc AC=AB et donc le triangle ABC est isocèle en A.

Conclusion: tous les triangles sont isocèles.

Question: où le raisonnement pêche-t-il ? (Voir la solution)

 

L'hypoténuse est plus longue qu'il n'y paraît (d'après l'équation du nénuphar de Albert Jacquard chez Calmann Lévy)

Où l'on se demande parfois si Pythagore n'a pas raconté des blagues !

On est dans une partie de la grande plaine des Etats-Unis où toutes les routes sont tracées selon des lignes droites nord-sud et est-ouest.

Pour aller d'un point A à un point B, on se déplace donc toujours sur des routes en ligne droite sud-nord ou est-ouest.

Une première possibilité (1er trajet) est d'aller de A à C puis de C à B. Une deuxième possibilité (2ème trajet) est d'aller de A à D puis de D à E puis de E à F puis de F à B. La longueur de ces deux trajets est évidemment la même car DE et CF sont égaux et DC et EF aussi. La géométrie la plus élémentaire nous montre que si nous augmentons le nombre de tournants, nous ne changeons par la longueur du trajet : par exemple le trajet ADEGHJKLB a même longueur que le 1er trajet.

En multipliant tous ces tournants et en donnant à tous les segments de droite une longueur de plus en plus petite, le trajet se rapproche de la diagonale AB et "tend" selon le langage des mathématiciens vers cette diagonale. Or sa longueur reste toujours égale à celle du 1er trajet ACB. On en conclut que la diagonale AB a la même longueur que le trajet ACB et donc que l'hypoténuse d'un triangle rectangle est aussi longue que la somme des deux autres côtés.

Question: pourquoi ce raisonnement est-il faux? (Voir la solution)

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