Exercices

(dernière mise à jour le lundi 6 janvier 2003)

Il s'agit de huit exercices assez simples si on s'y prend bien. Pour les résoudre on peut faire appel selon les cas au calcul des probabilités, à l'arithmétique ou tout simplement au bon sens...

Chiens et chats

Le choix du roi

L'âge du capitaine (1)

Le chirurgien

Le paradoxe des bancs

Le partage du trésor

L'âge du capitaine (2)

Les deux russes

Chiens et chats (d'après les énigmes de Shéhérazade de Raymond Smullyan chez Flammarion)

Un homme possède quatre animaux, deux chiens et deux chats. L'un des chats est blanc, l'autre chat est noir. L'un des chiens au moins est un mâle et le chat noir est un mâle. Quelle est la probabilité pour que les deux chiens soient des mâles? Quelle est la probabilité pour que les deux chats soient des mâles? (Voir la solution)

 

Le paradoxe des bancs (livre de mathématiques de 1ère de lycée)

Dans une pièce se trouvent trois bancs de deux places chacun. On nomme les bancs A, B, C et on numérote les places de 1 à 6 comme sur le schéma. Voici deux scénarios pour se faire s'asseoir au hasard deux personnes.

Scénario 1: dans une urne, on place trois jetons indiscernables marqués A,B,C. La première personne choisit un jeton, le remet dans l'urne et va s'asseoir sur le banc correspondant. La deuxième personne fait de même.

Scénario 2: dans une urne, on place six jetons indiscernables marqués de 1 à 6. La première personne choisit un jeton, le garde et va s'asseoir sur le banc correspondant. La deuxième personne fait de même.

Calculer la probabilité que les 2 personnes soient assises côte à côte selon chacun des scénarios. Vous constaterez qu'on n'aboutit pas au même résultat dans les 2 cas. Qu'en pensez-vous ? (Voir la solution)

 

 Le choix du roi (d'après les énigmes de Shéhérazade de Raymond Smullyan chez Flammarion)

Shéhérazade dit au roi:

- Supposons que je vous montre 3 boîtes marquées A, B et C. L'une contient une récompense, les deux autres sont vides. Je sais quelle boîte contient la récompense, pas vous. Vous prenez l'une des boîtes au hasard, mettons la boîte A. Mais avant que vous ne l'ouvriez, j'ouvre l'une des autres boîtes que je sais vide, mettons la boîte B, et je vous montre qu'elle est vide. Je vous propose alors soit de prendre le contenu de la boîte A, soit de l'échanger contre celui de la boîte C. En termes de probabilités, avez-vous intérêt à faire l'échange?

Le roi répond:

- Ca n'a pas d'importance. Avant que tu m'aies montré la boîte vide, il y avait une chance sur trois pour que la boîte A soit la bonne. Sachant maintenant que B est vide, les chances pour que la récompense soit dans A ou dans C sont égales. Cela ne change donc rien que je fasse l'échange ou non.

Le roi a-t-il raison, à sa place échangeriez-vous le contenu de la boîte A contre celui de la boîte C? (Voir la solution)

 

Le partage du trésor (d'après les énigmes de Shéhérazade de Raymond Smullyan chez Flammarion)

Au cours d'une exploration au large d'un îlot antillais, vingt plongeurs ont découvert un énorme trésor constitué de pièces d'or, de perles, de diamants et toutes sortes d'autres pierres précieuses.

Pour se partager équitablement le trésor, chacun a sa conception de ce qu'est un vingtième du butin. Ainsi, aucun n'est capable de répartir le butin en vingt parts égales qui satisfont tout le monde, et ce d'autant plus que la plupart des objets n'ont pas une contre valeur fiduciaire précise.

Il y a pourtant une méthode pour partager le trésor en vingt parts équitables. La connaissez-vous? Note: cette méthode convient au partage en un nombre quelconque de parts (le nombre vingt n'a rien de particulier). (Voir la solution)

 

 L'âge du capitaine (1) (entendu sur France Culture en avril 2002)

Un bateau transatlantique ayant x cheminées, y hélices et z hommes à bord part le nème jour du pème mois de l'année 1900+t, où t est compris entre 0 et 99.

Le produit de x par y par z par n par p par t auquel on ajoute la racine cubique de l'âge du capitaine vaut exactement 4752862.

Question: quel est l'âge du capitaine ?

Questions subsidiaires: quel jour le bateau a-t-il été lancé, et combien y-a-t-il d'hommes à bord ?

(Voir la solution)

 

 L'âge du capitaine (2) (origine oubliée)

C'est un magnifique bateau de plaisance qui fait le tour du lac Léman avec deux membres d'équipage et dont vous êtes le capitaine. Au départ, il y a 55 passagers à bord. A la 1ère escale, il y a 1 passager qui descend et 4 passagers qui montent. A la 2ème escale, il y a 25 passagers qui descendent et 35 qui montent. Enfin au terminus, tout le monde descend. Sachant, que le bateau pèse 5 tonnes, et que le poids moyen des passagers a été de 69 kg, quel est donc l'âge du capitaine? (Voir la solution)

 

 Le chirurgien (origine oubliée)

Un homme est dans une voiture avec son fils. Ils ont un accident et le père meurt sur le coup. Son fils (tout à fait légitime, et qui n'a qu'un seul père) est transporté à l'hôpital le plus proche pour se faire opérer. Le chirurgien entre dans la salle d'opération et dit : "Non je ne peux pas l'opérer, c'est mon fils !". Comment est-ce possible? (Voir la solution)

 

 Les deux russes (origine oubliée)

Le premier Russe est le père du fils de l'autre Russe. Quelle est la relation entre ces deux Russes ? (Voir la solution)

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